שלום לכולם,
שמתי לב שנוסחת ה"עד מתי" שמופיעה באקסולידית, ובמספר פוסטים, סובלת מכמה בעיות:
1) לא מוצג פיתוח מתמטי שלה (לא הצלחתי למצוא פיתוח כזה באינטרנט, למרות שגם networthify משתמש באותו החישוב).
2) היא לא מתחשבת בסכום שכבר צברת, כלומר – היא מניחה שההון הנוכחי שלך הוא בדיוק אפס ש"ח. הזמן לעצמאות כלכלית שהנוסחה מציגה עבור אדם בחובות ועבור אדם שיש לו חמישים מיליון ש"ח הוא זהה, בהינתן אחוז חסכון זהה.
3) חוסר התחשבות במשתנים נוספים – אינפלציה \ עלית הוצאות אישית, מרווח בטחון וכו'.
טרחתי לפתח את הנוסחה ולשכלל אותה מעט, אז רציתי לשתף אתכם:
1) פיתוח הנוסחה: הערך "ערך עתידי" בויקיפדיה נותן מבוא טוב. נפתח דרך דוגמא: נניח שאתם חוסכים 10000 ש"ח בכל שנה, ומשיאים תשואה של 10%. כעבור חמש שנים, יש לכם 10,000 ש"ח שעברו 4 שנים של תשואה, 10,000 ש"ח שעשו 3 שנים של תשואה, וכן הלאה. או במספרים:
(הסוגר האחרון קפץ לצד שמאל של המשוואה, אני מקווה שזה עדיין קריא)
זיהיתם נכון, זוהי סדרה הנדסית. הסכום שלה נתון ע"י
כאשר sav הוא אחוז החסכון שלכם, ye הוא ההכנסה השנתית שלכם, r היא התשואה (0.1 במקרה הזה) ו-t הוא זמן החסכון, בשנים. נבודד את הזמן בביטוי ונקבל
כאשר ex הוא אחוז ההוצאות שלנו, ו-wd כלל המשיכה (3% או 4% למשל). נציב בנוסחה הקודמת ונקבל
וזו הנוסחה המוכרת לעצמאות כלכלית.
2) כעת נרצה להוסיף סכום כסף התחלתי (ההון הנוכחי שלנו) שנסמן ב-start. הסכום הזה צובר תשואה למשך t שנים ללא הפרעה, בנוסף להפקדות החודשיות. לכן הביטוי להון שלנו כפונקציה של הזמן יהיה כעת
מבודדים את t בצורה דומה, ומקבלים את הביטוי
עוד לא הכנסנו כאן את כלל המשיכה, אבל הביטוי הזה הוא יותר שימושי לדעתי – אפשר להכניס כאן איזה יעד כלכלי שאתם רוצים, ולאו דווקא לפי כלל המשיכה. אני לא כ"כ אוהב את כלל המשיכה כי מרווח הבטחון הוא מאוד לא אינטואיטיבי – עד כמה 3% יותר בטוח מ-4%? יותר נח לי לחשוב שאני מושך תמיד לפי 4%, אבל לפי הוצאה חודשית של 10,000 במקום ה-6,000 ש"ח שאני באמת זקוק להם. זה נותן לי אמת מידה הרבה יותר מוחשית למרווח הבטחון שלי. ככה אני גם יכול לשקלל עליה עתידית בהוצאות שלי (מישהו אמר ילדים?), אינפלציה ומה שבא לי, רק על ידי שינוי היעד הכלכלי.
בכל מקרה, מי שרוצה להשתמש בכלל המשיכה "הרגיל" מציב כאן כמו בסעיף הראשון ומקבל
זהו, מקווה שהחישוב הזה מגלח לכם כמה שנים עד לעצמאות הכלכלית, ושלא עשיתי לכם יותר מדי כאב ראש...
שמתי לב שנוסחת ה"עד מתי" שמופיעה באקסולידית, ובמספר פוסטים, סובלת מכמה בעיות:
1) לא מוצג פיתוח מתמטי שלה (לא הצלחתי למצוא פיתוח כזה באינטרנט, למרות שגם networthify משתמש באותו החישוב).
2) היא לא מתחשבת בסכום שכבר צברת, כלומר – היא מניחה שההון הנוכחי שלך הוא בדיוק אפס ש"ח. הזמן לעצמאות כלכלית שהנוסחה מציגה עבור אדם בחובות ועבור אדם שיש לו חמישים מיליון ש"ח הוא זהה, בהינתן אחוז חסכון זהה.
3) חוסר התחשבות במשתנים נוספים – אינפלציה \ עלית הוצאות אישית, מרווח בטחון וכו'.
טרחתי לפתח את הנוסחה ולשכלל אותה מעט, אז רציתי לשתף אתכם:
1) פיתוח הנוסחה: הערך "ערך עתידי" בויקיפדיה נותן מבוא טוב. נפתח דרך דוגמא: נניח שאתם חוסכים 10000 ש"ח בכל שנה, ומשיאים תשואה של 10%. כעבור חמש שנים, יש לכם 10,000 ש"ח שעברו 4 שנים של תשואה, 10,000 ש"ח שעשו 3 שנים של תשואה, וכן הלאה. או במספרים:
Value = 10,000 * (1.1^0 + 1.1^1 + 1.1^2 + 1.1^3 + 1.1^4)
(הסוגר האחרון קפץ לצד שמאל של המשוואה, אני מקווה שזה עדיין קריא)
זיהיתם נכון, זוהי סדרה הנדסית. הסכום שלה נתון ע"י
Value = sav*ye*(((1+r)^t - 1) / r)
כאשר sav הוא אחוז החסכון שלכם, ye הוא ההכנסה השנתית שלכם, r היא התשואה (0.1 במקרה הזה) ו-t הוא זמן החסכון, בשנים. נבודד את הזמן בביטוי ונקבל
(r+1)^t = (Value + sav*ye/r) / (sav*ye/r)
<=
Ln(1+r) * t = ln((value*r + sav*ye) / (sav*ye))
<=
t = ln((value*r + sav*ye) / (sav*ye))/Ln(1+r)
בתור y אנחנו צריכים להציב את הסכום שאליו אנחנו מעונינים להגיע. הסכום הזה הוא<=
Ln(1+r) * t = ln((value*r + sav*ye) / (sav*ye))
<=
t = ln((value*r + sav*ye) / (sav*ye))/Ln(1+r)
value = ex*ye/wd
כאשר ex הוא אחוז ההוצאות שלנו, ו-wd כלל המשיכה (3% או 4% למשל). נציב בנוסחה הקודמת ונקבל
t = ln((ex*r/wd + sav) / sav) / Ln(1+r)
וזו הנוסחה המוכרת לעצמאות כלכלית.
2) כעת נרצה להוסיף סכום כסף התחלתי (ההון הנוכחי שלנו) שנסמן ב-start. הסכום הזה צובר תשואה למשך t שנים ללא הפרעה, בנוסף להפקדות החודשיות. לכן הביטוי להון שלנו כפונקציה של הזמן יהיה כעת
Value = sav*ye*(((1+r)^t-1)/r) + start*(1+r)^t
מבודדים את t בצורה דומה, ומקבלים את הביטוי
t = ln((value*r + sav*ye)/(r*start + sav*ye))/ln(1+r)
עוד לא הכנסנו כאן את כלל המשיכה, אבל הביטוי הזה הוא יותר שימושי לדעתי – אפשר להכניס כאן איזה יעד כלכלי שאתם רוצים, ולאו דווקא לפי כלל המשיכה. אני לא כ"כ אוהב את כלל המשיכה כי מרווח הבטחון הוא מאוד לא אינטואיטיבי – עד כמה 3% יותר בטוח מ-4%? יותר נח לי לחשוב שאני מושך תמיד לפי 4%, אבל לפי הוצאה חודשית של 10,000 במקום ה-6,000 ש"ח שאני באמת זקוק להם. זה נותן לי אמת מידה הרבה יותר מוחשית למרווח הבטחון שלי. ככה אני גם יכול לשקלל עליה עתידית בהוצאות שלי (מישהו אמר ילדים?), אינפלציה ומה שבא לי, רק על ידי שינוי היעד הכלכלי.
בכל מקרה, מי שרוצה להשתמש בכלל המשיכה "הרגיל" מציב כאן כמו בסעיף הראשון ומקבל
t = ln(ye * (ex*r/wd + sav*ye) / (r*start + sav*ye)) / ln(1+r)
זהו, מקווה שהחישוב הזה מגלח לכם כמה שנים עד לעצמאות הכלכלית, ושלא עשיתי לכם יותר מדי כאב ראש...
