הפרדוקס של זיגל או: כמה לגדר?

[doc29]

אני חושב ש- @doc29 גם צודק (בטעות)

 

[איליה]

לגמרי מסכים, ואם כל מה שכבר נאמר כאן מקודם בנושא הזה. שיקול רציני. לא יודע איך לכמת אותו בהינתן שאני חי בשקלים...

אתה צודק רעיונית, אבל אני חושב ש- @doc29 גם צודק (בטעות): נניח שהושקעתי 100 דולר שהם 400 ש"ח בסנופי והוא עלה ב- 10% אז כיום יש לי 110 דולר. אם הדולר ירד ב- 10% כלומר השער הוא 4*0.9=3.6 נשארתי עם (396) ש"ח כלומר הפסדתי! אבל הטעות כאן היא אותה טעות שהופיעה קודם, ומקורה בכך שאנחנו חושבים באופן אריתמטי ולא גיאומטרי - עליה של 10% (פי 1.1) מקבילה לירידה של 9.09% (ירידה פי 1.1).
אבל הרעיון ברור, עליה של הסנופי והירידה במידה שווה בשער הדולר, יאכלו לך את כל הרווחים...

אוי המתמטיקאים האלה, מזכיר לי בדיחה ישנה (קצת שוביניסטית אז אחליף את האישה במזוודה עם כסף כדי להשאר בחיים (שונא politically correct אך זה פורום ציבורי): "מתמטיקאי ומהנדס נכנסים לחדר ורואים מזוודה מלאה בכסף בקצה שני, אז מציבים להם תנאי שכל צד הבא שלהם יהיה חצי מהצד הקודם. מתמטיקאי צורח ובורח מהחדר, מהנדס מסתכל עליו ואומר: "למה הוא ברח? בקירוב טוב זה יעבוד!"

הוויקוח פה מאוד מזכיר לי את הבדיחה הזאת

 

[Ron B]

עזוב, למה אני מסתבך. שכח מכל ההסברים שלי. פתחתי שניה ויקיפדיה: "מודל בלק ושולס" - ואני מצטט "מחיר המנייה הנוכחי הוא 50 שקל. קיימים שני מצבי טבע. מצב טבע 1: בסוף התקופה שער המניה יהיה 100 שקל (שער המניה יוכפל). מצב טבע 2: בסוף התקופה שער המניה יהיה 25 שקל (שער המניה יפחת ב- 50%)"
היי, זה לא המודל שלך, זה המודל שאני דיברתי עליו. נו, ברצינות. מ.ש.ל.

אתה טועה ידידי. עזוב את התרגומים של ויקיפדיה בעברית. תסכל על המשוואה הדיפרנציאלית פה:
http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Brownian_motion
dS = mu*S*dt + sigma*S*dW
החלק הרנדומי היא dW שזה תהליך וינר. בלי להכנס לעומק יותר מדי, הרעיון מאד דומה להתפלגות נורמלית, שהיא כידוע סימטרי.
למרות שההתפלגות רציפה, אינטואיבית (אני מדגיש: אינטואיטיבית!!!), זה אומר שאם הסיכוי של הנכס לעלות ב-1 שקל הוא 30%, אז הסיכוי שלו לרדת ב-1 שקל הוא גם 30%. שים לב למשוואה: זה לא אומר שהסיכוי לעלות פי 1.1 זהה לסיכוי לרדת פי 1.1. ממש לא. למרות שסטיית התקן משתנה כפונקציה של מחיר הנכס (פה למעשה ההבדל בין תנועת בראון לתנועת בראון גאומטרית). הבלבול שלך מאד נפוץ דרך אגב, אבל המשוואה הדיפרנציאלית מסבירה היטב מדוע אתה טועה: השנוי הרנדומי בנכס סימטרי ל-2 הצדדים, כלומר התוחלת שלו (ללא הדריפט mu) היא אפס! לעולם לא חיובית.
מה שאתה כן צודק (ועל זה מבוסס הפרדוקס) שיחס בין נכסים (מטבעות) מתנהגים בצורה כזאת. אבל: לא הנכסים עצמם !!!
לגבי קורות חיים, בוא לא נכנס לזה. זה לא באמת חשוב. אבל: לפני שאתה עונה. תקרא שוב. לאט. לאט. ואז תכתוב שוב.

 

[אני]

אוקיי, קראתי קצת. הטעות שלך היא שהפתרון למשוואה הדיפרנציאלית הוא ה- *אקספוננט* של צד ימין (ראה את הערך {האנגלי} בויקיפדיה על תהליך וינר והאמת שזו משוואה דיפרנציאלית הכי פשוטה, אם אין סחף), לכן אם התוחלת של תהליך וינר היא 0, התוחלת של ה- GBM היא 1. נו, איזה נימוק עוד ישכנע אותך? אני מיואש! הכל ברוח טובה!

 

[Ron B]

אהה. אבל הבטחת לי שתקרא... לא קראת.
תסתכל ב properties בערך של gbm.
אם הדריפט הוא אפס, התוחלת של מחיר מנייה הוא המחיר בהווה. זה פשוט כתוב שם... תציב בנוסחא mu=0
ESt = s0*exp(mu*t)
פעם נוספת: אם הדריפט הוא 0 תוחלת מחיר המנייה היא מחיר המניה בהווה.
זה לא יקרה אם תניח את המודל שהסיכוי שהנכס יעלה פי 2 זהה לסיכוי שהנכס ירד פי 2. תחת המודל הזה, ללא דריפט, התוחלת גדולה יותר ממחיר המניה בהווה.

 

[אני]

@Ron B אתה צודק, טעות שלי, קראתי את זה מהר מדי. (אתה רואה, זה לא בושה להודות!)
זה נראה די משכנע, ובאמת השאיר אותי לשתי דקות פעור פה. ואז שאלתי את עצמי, מדוע יש הבדל (לכאורה) במקרה הבדיד הגיאומטרי (אתה תיארת מודל של הילוך מקרי רגיל, שאני טוען בתוקף שהוא שגוי מהיסוד בלי שום קשר) לעומת המקרה הרציף, הרי זה לא ייתכן ששני המודלים יתנו תשובות כה שונות. ואז הבנתי את העניין: אתה מניח שהסחף הוא 0. זאת בדיוק הנחת המבוקש! ברור שהגיוני שאם תניח שהסחף 0 תקבל את מה שאמרת. בעיני המודל הבדיד יותר משכנע (אולי כי אין את פרמטר הסחף), אבל אכן, הוא גם לא מוצא חן בעיני: ברגע שאתה מוסיף את משתנה העזר שלך "מטבע הזהב" אתה מאבד את הסימטריה בבעיה, וצריך להניח הנחות נוספות (מצטער, הנחה של סחף 0 היא הנחת המבוקש ואני לא יכול לקבל אותה). אבל אני טוען שהמודל המקורי של התפוחים והתפוזים, הסימטרי, משכנע בפני עצמו (אגב, גם פרקטית לדעתי), ואגב יש איזה נקודה שאני חושב שאולי פספסת: ליוסי יש גם כסף. יש לו גם בית. יש לו 100 תפוחים, שהם האוכל שלו (יש להם ערך ריאלי), והוא מעוניין להמר עליהם, ולהשיג יותר אוכל (במונחים ריאלים). הוא מנצל את התנודתיות בשער החליפין, לעשות הימור עם תוחלת רווח ריאלית חיובית. אין כאן שום צורך בריאליזציה, ומטבע העזר שהוספת, מסרבל את הבעיה, ומצטער, הוא אינו מסביר מדוע ליוסי לא כדאי להחזיק שנה 100 תפוזים, בטח ובטח לא לפי המודל הבדיד. מקווה שההסבר עוזר!
עכשיו, עוד נקודה שחשוב לשים לב אליה לגבי תנועת בראון גיאומטרית (השכלתי קצת היום). בוא נניח רגע שהסחף 0, בכל זאת. אז מנוסחת השונות, יש שני מקרים: אם סיגמא שווה ל- 0, אז השונות היא אפס, והתהליך הוא קבוע, מה שלא רלוונטי. אם סיגמא שונה מאפס, אזי השונות גדלה עם הזמן (!!!) אתה מבין מדוע זה אבסורד? אם הסחף חיובי, אז ברור שגם השונות תגדל עם הזמן, ואין כאן שום בעיה. אבל מודל שבו הסחף הוא 0 והשונות גדלה עם הזמן, הוא מודל שלא מתקבל על הדעת בקונטקסט של המטבעות.
פליז תסכים איתי, פליז תסכים איתי, זה מתיש (אחרי שהוכחתי באותות ובמופתים, אפנה ללב שלך).

עריכה:
חשבתי על זה ואני לוקח בחזרה את רוב מה שאמרתי על המודל הרציף - להתעלם. כרגע נראה לי שלגביו אתה צודק. אז נשארתי עם התהיה שהיא מבחינתי הפרדוקס האמיתי. נניח שמכניסים את מטבע העזר (שאני לא מבין למה צריך אותו, כי הפרדוקס מנוסח במונחים ריאליים) - למה המודל הרציף הגיאומטרי והמודל הבדיד הגיאומטרי עובדים כל-כך שונה.

 

[אני]

אני מתנצל על השטויות בפוסטים הקודם. למדתי משהו היום!
אז צריך למצוא עכשיו מדוע, בהינתן שהבעיה מנוסחת באופן ריאלי, לכאורה הכנסת מטבע העזר משנה את תוחלת הרווח.
אז נראה לי שעליתי על הנחה נוספת שהכנסת, והיא זאת שמשנה את הסיפור - בסיפור המקורי, שהוא סימטרי לחלוטין, על זה תסכים אני מאמין, יחס המטבעות יכול להשתנות בצורה סימטרית, ומכאן תוחלת הרווח החיובית (כמו שאמרת, יחס בין נכסים מתנהג בצורה הזאת).
הכנסנו את מטבע העזר. מעולה. אבל עכשיו נתת שני תסריטים - א. שמטבע A מתחזק נניח ל- 1.5 ביחס למטבע העזר. ב. שהמטבע נחלש ל- 0.5.
השתכנעתי שלפי המודל הרציף של תנועת בראון גיאומטרית, שמתאר יפה את המציאות, זה קורה בסיכוי חצי חצי לצורך הדיון.
מודה שלמדתי כאן, והמודל שלך לא שגוי, אלא המודל שלי. עכשיו אמרת שמטבע B הולך באופן הפוך.
אה! כאן יש בעיה, לא? מה עם שאר התסריטים? כאן לכאורה אין קשר בין A ל- B, אלא כל אחד קשור רק למטבע העזר, ולקחת כאן רק תסריט אחד (שהקשר בין A ל- B הפוך) מתוך אינסוף תסריטים שתצטרך למצע עליהם, וממש לא ברור איך לעשות זה.
בקיצור, מאיפה ההנחה ש- A ו- B מתנהגים הפוך ביחס למטבע הריאלי? יכול להיות הרי ש- A מתחזק ביחס למטבע הריאלי, ו- B גם מתחזק (פחות או יותר ממה ש- A מתחזק). היחס בין A ל- B עדיין משתנה! אני חושב שפה קבור הכלב, ידידי...

 

[Sailor]

אוי הברוך!! , מה קורה פה?! מישהי פה הבטיחה שבורסה זה לא מדע טילים.

 

[גרהם]

מצטרף מעט באיחור, אבל נראה לי שיש כאן פספוס של נקודה חשובה.
השינוי בשער הדולר אינו בלתי תלוי בשער המדד/מניה. כך למשל, אם מדובר בחברה אמריקאית שהוצאותיה בדולרים והכנסותיה ביורו, ירידת ערכו של הדולר תביא לגידול ברווחיה ושוויה. הדבר נכון עוד יותר כאשר מדובר במדדים עולמיים שכוללים השקעה במניות במדינות רבות שאינן ארה"ב, אשר שווין תלוי במטבעות רבים שאינם דולר ולכן גם אם רוצים לגדר, לא תמיד הגידור מול הדולר הוא הרלוונטי.
דרך אחרת להסתכל על זה היא לראות את ההשקעה במניה כהשקעה בגורם ייצור (מפעל או פרה, למשל). האם שווי המפעל / פרה משתנים לפי שינויים בשע"ח? ואם כן - האם יש בהכרח קשר בין המטבע בו נקוב מחיר גורם הייצור לבין המטבע אשר שינוי ערכו משפיע על מחיר גורם הייצור?
מהצד השני יש את טענת "אני חי בשקלים בישראל" שהיא לא כל כך מדוייקת, כי חלק נכבד מעלות המחיה בישראל קשור לשינויים בשע"ח.

 

[אני]

@Ron B , יש לי עוד הסבר מדוע הפתרון שלך פרדוקסלי. כיוון שכבר טעיתי פעם אחת, אשאל אותך מה אני מפספס פה:
לשיטתך: אם יוסי מחזיק 100 תפוחים (=מטבע A), מחר גם כן יישארו לו 100 תפוחים (כי הוא לא עשה כלום), והם יהיו שווים בתוחלת 100 מטבעות זהב (המטבע הנוסף שהגדרת). עד כאן הגיוני. במקרה השני, אם יוסי מחזיק 100 תפוזים (=מטבע B), הוא יישאר בתוחלת עם 166 תפוחים, אך הם יהיו שווים רק 100 מטבעות זהב. נכון? זה מה שאתה אמרת. נשמע הגיוני. בעצם - מה פתאום! יוסי האזרח הקטן, בורג קטן במערכת, באמצעות ה- 100 תפוחים שלו, מצליח להשפיע כאן באמצעות האסטרטגיה שלו, ועוד באופן משמעותי, על שווי התפוחים בזהב! אם הוא נוקט באסטרטגיה הראשונה, שווי התפוחים (במדינה, לצורך העניין) בזהב יישמר בממוצע. אבל אם הוא מתחכם, שווי התפוחים בזהב יורד בממוצע בהרבה!
בבקשה, הסבר לי איפה אני טועה פה? עריכה: מצאתי נראה לי את ההסבר, ראה בפוסט הבא.
תודה, והכל ברוח טובה. זה מתחיל להיות מעניין. בינתיים נראה לי שהנקודה שהצבעתי עליה קודם היא הטעות בהסבר שלך, ושהניסוח המקורי, הסימטרי, הוא בסדר גמור (אגב אפשר לנסח אותו עם סלי מצרכים אם מפריע לך התפוזים והתפוחים). אשמח אם תתקן אותי.

 

[אני]

מצטרף מעט באיחור, אבל נראה לי שיש כאן פספוס של נקודה חשובה.
השינוי בשער הדולר אינו בלתי תלוי בשער המדד/מניה. כך למשל, אם מדובר בחברה אמריקאית שהוצאותיה בדולרים והכנסותיה ביורו, ירידת ערכו של הדולר תביא לגידול ברווחיה ושוויה. הדבר נכון עוד יותר כאשר מדובר במדדים עולמיים שכוללים השקעה במניות במדינות רבות שאינן ארה"ב, אשר שווין תלוי במטבעות רבים שאינם דולר ולכן גם אם רוצים לגדר, לא תמיד הגידור מול הדולר הוא הרלוונטי.
דרך אחרת להסתכל על זה היא לראות את ההשקעה במניה כהשקעה בגורם ייצור (מפעל או פרה, למשל). האם שווי המפעל / פרה משתנים לפי שינויים בשע"ח? ואם כן - האם יש בהכרח קשר בין המטבע בו נקוב מחיר גורם הייצור לבין המטבע אשר שינוי ערכו משפיע על מחיר גורם הייצור?
מהצד השני יש את טענת "אני חי בשקלים בישראל" שהיא לא כל כך מדוייקת, כי חלק נכבד מעלות המחיה בישראל קשור לשינויים בשע"ח.

אתה צודק, ואכן לפי טיעון שיווי המשקל במאמר של בלק, צריך לגדר כנגד כל המטבעות לפי יחס של שווי שוק. אולם הטיעון, עד כמה שאני מבין הוא משיקולי סימטריה, שלא מושפעים ממה שאמרת. הם גם לא מושפעים מהעובדה הנכונה שציינת שעלות המחיה בישראל קשורה לשינויים בשע"ח. לכן אני לא בטוח שהטיעונים הנכונים שהצגת ישפיעו על המסקנה של כמה לגדר לפי המודל (הפשטני, כן?) שבלק מציג (וסליחה אם אני טועה ומטעה).

 

[אני]

@Ron B , יש לי עוד הסבר מדוע הפתרון שלך פרדוקסלי. כיוון שכבר טעיתי פעם אחת, אשאל אותך מה אני מפספס פה:
לשיטתך: אם יוסי מחזיק 100 תפוחים (=מטבע A), מחר גם כן יישארו לו 100 תפוחים (כי הוא לא עשה כלום), והם יהיו שווים בתוחלת 100 מטבעות זהב (המטבע הנוסף שהגדרת). עד כאן הגיוני. במקרה השני, אם יוסי מחזיק 100 תפוזים (=מטבע B), הוא יישאר בתוחלת עם 166 תפוחים, אך הם יהיו שווים רק 100 מטבעות זהב. נכון? זה מה שאתה אמרת. נשמע הגיוני. בעצם - מה פתאום! יוסי האזרח הקטן, בורג קטן במערכת, באמצעות ה- 100 תפוחים שלו, מצליח להשפיע כאן באמצעות האסטרטגיה שלו, ועוד באופן משמעותי, על שווי התפוחים בזהב! אם הוא נוקט באסטרטגיה הראשונה, שווי התפוחים (במדינה, לצורך העניין) בזהב יישמר בממוצע. אבל אם הוא מתחכם, שווי התפוחים בזהב יורד בממוצע בהרבה!
בבקשה, הסבר לי איפה אני טועה פה? עריכה: מצאתי נראה לי את ההסבר, ראה בפוסט הבא.
תודה, והכל ברוח טובה. זה מתחיל להיות מעניין. בינתיים נראה לי שהנקודה שהצבעתי עליה קודם היא הטעות בהסבר שלך, ושהניסוח המקורי, הסימטרי, הוא בסדר גמור (אגב אפשר לנסח אותו עם סלי מצרכים אם מפריע לך התפוזים והתפוחים). אשמח אם תתקן אותי.

אני עונה לעצמי - לגבי הטיעון הקודם, מתמטית לפחות, אין כאן סתירה. ההסבר הוא שתוחלת היחס בין שני משתנים מקריים אינה שווה ליחס התוחלות.
אוקיי, אז הבעיה לא כאן. טוב, כבר הצבעתי על הנקודה הבעייתית.

מאיפה ההנחה ש- A ו- B מתנהגים הפוך ביחס למטבע הריאלי?

כדי לא לחפור ולפלוט כל שטות שיוצאת לי מהראש , אחכה שתסביר כיצד אתה מתייחס לנקודה זאת, ולא אנסה להעלות עוד טיעונים בינתיים.
עריכה: @Ron B קשה לי להתאפק, אבל עליתי על התובנה הבאה: אם המודל מנוסח במונחים ריאליים כפי שמודגש במאמר (של סלי מצרכים, התפוחים והתפוזים מייצגים לצורך העניין את סלי המצרכים), אז הערך הריאלי של התפוחים והתפוזים יישאר בכל מקרה קבוע לאורך כל הזמן (ולא ישתנה ל- 1.5 או 0.5), ואכן תוחלת הרווח הריאלית תהיה חיובית. המודל שאתה תיארת שונה, כיוון שבו הערך הריאלי של התפוחים יכול להשתנות. אשמח להסבר כיצד זה מתיישב, אם תחליף את התפוחים ותפוזים בסלי מצרכים, או אם להישאר במשל, יוסי צורך אך ורק תפוחים (ולא אייפונים), כך שהערך הריאלי של התפוחים והתפוזים יישאר קבוע לאורך הזמן. מדוע תוחלת הרווח לא תהיה חיובית? אשמח לשמוע הסבר אם יש לך.

עריכה 2: בינתיים לא שמעתי הסבר, אבל אני חושב שאני יכול להסביר זאת לעצמי. בהסבר שאתה נתת, שער החליפין נקבע כיחס בין הערך של התפוחים (מטבע A אצלך) בזהב, לערך של התפוזים (מטבע B אצלך) בזהב. כיוון שאם יוסי צורך רק תפוחים (ולא אוכל תפוזים, או משתמש באייפונים) בכל מקרה הערך (הריאלי) של התפוחים מבחינתו לא ישתנה לא משנה מה, ואותו דבר בתפוזים, מנקודת המבט של תושב מדינת התפוזים. לכן, שער החליפין יישאר קבוע, לכאורה (תיכף אסביר את הטעות).
בעצם, מצאנו כאן הסבר (לכאורה) לפרדוקס: יש בעיה בסיפור שסופר, שער החליפין בין תפוחים ותפוזים לא יכול להשתנות (שוב, כי הוא יחס הערכים הריאליים שלהם). כמובן שזה לא מחוייב המציאות, לדוגמא אם תהיה שמועה שבמדינת התפוחים הולכת לפרוץ מלחמה, שער החליפין כן יכול להשתנות (ועדיין, מבחינת תושבי מדינת התפוחים, שחיים אך ורק על תפוחים, הערך הריאלי של תפוחים (או סל המצרכים אם תרצה) יישאר קבוע מעצם ההגדרה). מה ההסבר? העניין הוא, שערך ריאלי זה דבר יחסי.
מנקודת מבטו של יוסי, הערך הריאלי של *התפוזים* אינו קבוע, אלא מושפע משער החליפין, כי אסור לו לאכול תפוזים, וכל מה שהוא יכול לעשות איתם זה להמיר אותם לתפוחים. וזה מה שמוביל אל הבעיה הבסיסית בהסבר שנתת - אתה לא יכול למדוד את הערך של תפוחים ושל תפוזים באותו מטבע זהב, ולקבוע מתוך כך את שער החליפין (אחרת, גם עבור יוסי הערך הריאלי של תפוזים חייב יהיה להיות קבוע, וכך גם שער החליפין, שלא יוכל להיות מושפע מגורמים חיצוניים). אני חוזר ומדגיש - מבחינת יוסי, שלא אוכל תפוזים, ערך התפוזים יהיה תלוי בשער החליפין, שיכול להשתנות עקב כוחות חיצוניים.
לסיכום, הרווח שיוסי עושה, הוא מהאפשרות ששער החליפין בין נכסים ריאליים במדינות שונות (עם סל מצרכים שונה) ישתנה, עקב כוחות חיצוניים. אני מסכים שאם השער לא יכול להשתנות, אז אין כאן בעיה, ואין כאן פרדוקס. אבל בהינתן שהשער יכול להשתנות, יש אפשרות להרוויח.
וואו, אני חושב שאני מבין עכשיו הרבה יותר לעומק את כל העניין, תודה! אני מאמין שעשויות להיות לזה השלכות פרקטיות על כך שסיכון מט"ח הוא סיכון *עם* פרמיה. מקווה שההסבר היה נכון וברור (ושיש בו עניין לציבור ).