חשבתי על זה, ואם אתה לא משתכנע שאתה טועה, ויש לך זמן פנוי, ראיתי שאתה מתכנת - אתה יכול לכתוב סקריפט שמדמה את הסיפור, ולראות לאורך זמן מה יהיה הרווח הממוצע של יוסי. אם אתה חושב שהוא 0, מצפה לך הפתעה. ואם יוצא שהוא 0, הרבה אנשי אקדמיה ייצטרכו למשוך את המאמרים שלהם.
אם ממש משעמם לך, נסה גם לכתוב סקריפט שבודק את בעיית המעטפות, ותראה כמובן שתוחלת הרווח היא 0. הסיפורים שונים, אין מה לעשות! אגב, בעיית המעפות היא יותר מורכבת. אם אנו יודעים מראש את סכומי הכסף במעטפות, הכשל הלוגי בטיעון הוא מיידי. הפרדוקס שריתק מתמטקאים הוא מה קורה כשסכומי הכסף במעטפות נבחרים באקראי. לבעלי אוריינטציה מתמטית, יש הסבר מעולה בבלוג המתמטי המצויין "לא מדויק".
וואו עשית בלאגן... מצד שני נהיה מעניין...
ברור שאני לא טועה: נראה לך שבאמת הוא ירוויח בתוחלת יותר אם הוא יחליף מתפוחים לתפוזים?
יש מאות פרדוקסים כאלו. מאד מעניינים. כולם מועלים ע״י טובי המוחות בעולם (כולל חתני פרס נובל). בסופו של דבר, הם מגניבים, מחדדים את המחשבה, ואני באופן אישי מאד אוהב אותם (במיוחד כשהייתי צעיר...). אבל, הם אחיזות עיניים, מעשי כשפים ולא יותר מכך. אם כי, בדרך להבנה של ״מה לא נכון פה״ לומדים דברים.
בד״כ הדרך הכי נוחה להבין איפה הבעייה היא במידול הרנדומי של הבעייה. למשל, בבעיית המעטפות ההצגה ש״במעטפה אחת יש פי 2 מהשנייה.״ נשמעת טוב בעברית, אבל אין פונקצית הסתברות עם תוחלת סופית שמתארת את זה. אם עוברים למידול אחר, למשל הגרלה של סכום מתוך טווח סופי, ה״פרדוקס״ נעלם.
״נסה לכתוב סקריפט שבודק את...״ - ברור שלא זאת הדרך, שכן הבעייה היא בד״כ בפרדוקסים הללו (וגם במקרה הזה) הוא לא הניתוח המתמטי. הניתוח המתמטי נכון. הבעייה היא בהנחת המודלים ההסתברותיים שמשקפים את המציאות. בפרט: איך באמת מתפלגים היחס בין מטבעות.
טוב: אחרי כל ההטפות המוסריות, בואו ניגש לפתור את הפרדוקס. כמו שציינתי, הבעייה היא ההנחות. לכן, נניח שיש מטבע אחד שהוא ״אמיתי״, למשל מטבעות זהב (או ביטקוין או כל מה שתרצו). אמחיש בדוגמא את המודל: יש שני מטבעות A ו-B שכל אחד מהם שווה 1 מטבעות זהב. לצורך, ההנחה נניח מודל הסתברותי בו בהסתברות חצי A שווה 1.5 מטבעות זהב, ובהסתברות חצי A שווה 0.5 מטבע זהב. שים לב, שהתוחלת של A היא 1, כפי שצריך ליהיות. B לעומת זאת, מתנהג בדיוק אותו הדבר רק הפוך: כשA עולה אז B יורד. אין רווח אמיתי בתוחלת מלקנות את A או את B.
עכשיו, נניח שיש לי 100 מטבעות A. יש שתי ראלזציות אפשריות: או שA יהיה שווה 3 B או ש A יהיה שווה 1/3 B. לכן, עדיף לי להמיר ל-B. בתוחלת יהיה לי 166 A וקיבלתי תוחלת גדולה יותר. אכן פרדוקס... אבל, עכשיו רואים את הפיתרון: בראליזציה בה יש לי 300 מטבעות A, כל מטבע A שווה 1/2 מטבע זהב, ואם יהיה לי 33 מטבעות A, כל מטבע A שווה הרבה יותר: 1.5 מטבעות זהב. הפלא ופלא: התוחלת במטבעות זהב היא בדיוק 100 (ממוצע בין 150 ל-50) כמו שהיתה קודם.
נסכם: אם מישהו שמחזיק במטבע A ילך וימיר ל-B, הוא אכן בתוחלת יקבל יותר מטבעות A. אבל, אליה וקוץ בה: אם יהיה לו יותר מטבעות A, כוח הקנייה שלהם יהיה נמוך יותר. זה יוביל לכך, שבתוחלת כוח הקניה לא ישתנה. למעשה, הוספנו שונות וסיכון, בלי לקבל שום רווח (מבחינת כוח הקנייה) בתוחלת. בדוגמא שלך עם התפוזים: אם אני אגמור עם פי 2 תפוזים, גם אייפון יעלה פי 2 תפוזים, אז מה אעשה אם כל התפוזים הללו? אני רוצה אייפון חדש.
מקווה שעכשיו הדברים ברורים. לילה טוב.