סימולציית מונטה-קרלו (ולמה תיק סולידי מדי עלול להיות מסוכן)

[ogi]

CAGR זאת לא מילה נרדפת ל"ממוצע הנדסי".

תודה על התיקון. אני מתבלבל ביניהם בגלל שאפשר לחשב CAGR כממוצע הנדסי של תשואות השנים הבודדות (צריך כמובן להוסיף 1 לתשואות השנים הבודדות ובסוף להוריד 1 מהתוצאה).

בכלל לא קשור לזה: CAGR זה ערך סופי לחלק לערך התחלתי בחזקת 1 לחלק למספר השנים.

כן, אבל אם נכנס או יצא כסף באמצע, החישוב הזה לא יעבוד, בעוד שהחישוב שתיארתי למעלה יעבוד.

 

[Ron B]

לא נכון. התנודתיות פוגעת בתשואה, כך שהתוחלת של הCAGR נמוכה מהCAGR של התוחלת. אם תקח מדגם של 100 שנים (לדוגמא), התרחיש הסביר ביותר הוא שחצי מהן תהיינה בפי 4 וחצי מהן תהיינה בפי 5, כך שהמכפלה של כל 100 השנים תהיה 4 בחזקת 50 כפול 5 בחזקת 50, והוצאת שורש 100 שקולה ללקחת את הממוצע ההנדסי בין 4 ו5 = 4.47, כך שמגיעים לתשואה של 347% כפי שכתבתי לעיל. כפי שהראית, לערך זה תתכנס התשואה של התיק הלא מאוזן.

אם אתה רוצה לחשב את התוחלת של התהליך זה לא נכון. התוחלת היא לא ה"תרחיש הסביר ביותר". התוחלת היא ממוצע כל התרחישים.
התפלגות של תהליך כזה נראית מוזרה: כמו שאמרתי התוחלת רחוקה מהחציון ולכן הבלבול.

שים לב שבפוסט הראשון הדגשתי שהגדלים המעניינים אותי הם החציון והאחוזון החמישי. הסיבה לכך היא שכשמדובר בתהליך לטווח ארוך, אי אפשר לחזור עליו מספיק פעמים כדי להשתמש בחוק המספרים הגדולים.

"מה מעניין אותי": זה כבר משהו אישי. אפשר לדון מה אמור לעניין אדם סביר שפועל רציונלי. לדעתי, אתה תופתע, אבל זה כבר דיון אחר...

 

[TunaGolem]

אם אתה רוצה לחשב את התוחלת של התהליך זה לא נכון. התוחלת היא לא ה"תרחיש הסביר ביותר". התוחלת היא ממוצע כל התרחישים.
התפלגות של תהליך כזה נראית מוזרה: כמו שאמרתי התוחלת רחוקה מהחציון ולכן הבלבול.

אני טענתי שבמספרים גדולים התוחלת מתכנסת לערך הסביר ביותר בהתפלגות זו, ושבמספרים קטנים יש להתחשב בהתפלגות הבינומיאלי לפי ברנולי.
ספציפית, כשהסבירות לפי 4 ולפי 5 זהה, וכשבודקים על פני עשרים שנים התוחלת היא 4.474 כשהממוצע ההנדסי הוא 4.472 והממוצע החשבוני הוא 4.500.

אפשר לדון מה אמור לעניין אדם סביר שפועל רציונלי. לדעתי, אתה תופתע, אבל זה כבר דיון אחר...

ספר!

 

[Ron B]

אני טענתי שבמספרים גדולים התוחלת מתכנסת לערך הסביר ביותר בהתפלגות זו,

אז אתה טועה. דוקא במספרים גדולים התוחלת לא מתכנסת לערך הסביר, אלא מתרחקת ממנו (פה אני מניח ש״ערך סביר״ הוא חציון). וככל שהשנים עוברות כך היא מתרחקת ממנו עוד ועוד.

אבל. אם עכשיו אתה רוצה להביא לאופטימום את החציון ולא את התוחלת, גם את זה אפשר לנתח אנליטית, וגם פה התשובה מורכבת יותר: להגיד שתיק 50% עם איזון יותר טוב מתיק ללא איזון - גם לא נכון, תחת הנחות סבירות ביותר. ננתח את זה אנליטית יותר מאוחר אם תרצו.

 

[TunaGolem]

אז אתה טועה. דוקא במספרים גדולים התוחלת לא מתכנסת לערך הסביר, אלא מתרחקת ממנו (פה אני מניח ש״ערך סביר״ הוא חציון). וככל שהשנים עוברות כך היא מתרחקת ממנו עוד ועוד.

הערך הסביר ביותר מוגדר היטב. הוא הערך בו הPDF מקסימלית.

 

[ogi]

דוקא במספרים גדולים התוחלת לא מתכנסת לערך הסביר, אלא מתרחקת ממנו (פה אני מניח ש״ערך סביר״ הוא חציון). וככל שהשנים עוברות כך היא מתרחקת ממנו עוד ועוד.

לדעתי אתם מדברים על דברים שונים. @Ron B ממצע את הסכום שאליו מגיעים בסוף התקופה בכל התרחישים, ולאחר מכן מחשב CAGR לפי הסכום הזה, ואילו @TunaGolem מחשב CAGR עבור כל תרחיש, ואז ממצע.

לא יודע איזה משני החישובים הוא הנכון או המתאים יותר, אבל כשהנחתי שהתשואה היא או 4 או 5 ומבצעים איזון, אז קיבלתי שבשיטת החישוב של @Ron B התוצאה תמיד יוצאת שווה לממוצע האריתמטי (4.5), בעוד שבשיטת החישוב של @TunaGolem נראה שככל שהשנים עוברות התוצאה מתכנסת בהדרגה לממוצע ההנדסי (4.47).

ט.ל.ח. ...

 

[daat99]

להגיד שתיק 50% עם איזון יותר טוב מתיק ללא איזון - גם לא נכון, תחת הנחות סבירות ביותר

אף אחד לא אמר את זה!
רצוי להבין מה הצד השני אומר לפני שמתחילים בויכוח סרק אבל גם אם כבר התחלתם אז כדאי להבין עכשיו מה באמת נאמר.

להלן הטענה המקורית של @TunaGolem :

• מסקנה: איזון בין מניות לאג"ח הקטין את הסיכון והגדיל את התשואה בטווח הארוך. לדעתי, תופעה זו צפויה להמשיך להתקיים בעתיד.

• בשוק יעיל בו אין הרבה ארוחות חינם, איזון בין נכסים עם מתאם נמוך עשוי להגדיל את התשואה בלא להגדיל את הסיכון.

בוא ונצטט את הדברים החשובים ש @TunaGolem אמר ואתה פספסת:
1. תופעה זו זו צפויה להמשיך ולהתקיים בעתיד - צפויה זה לא אומר שהיא חייבת לקרות.
2. איזון בין נכסים עם מתאם נמוך עשוי להגדיל את התשואה - עשוי אומר שזה לא מחייב אבל יכול לקרות.

מכיוון שכולנו הצגנו דוגמאות ספציפיות שאיזון מגדיל את התשואה אז הטענה של @TunaGolem בהכרח נכונה כי יש לפחות דוגמה אחת שמציגה את המקרה.

מכיוון שהוא לא טען שאיזון תמיד יגדיל את התשואה (לפחות אני לא קראתי טענה שכזו) אז כל הטיעונים שלך אינם רלוונטיים ואינם שוללים את קיום המקרים הספציפיים שמוכיחים את נכונות הטענה של @TunaGolem .

אחרי שהבנו שהטענה המקורית היא שיכול להיות מצב שבו התשואה משתפרת ואחרי שהוכחנו שזה קרה בהיסטוריה והצגנו דוגמאות תאורטיות שיכולות לקרות ותומכות ב-"יכולת קיום התשואה הנוספת בתיק מאוזן" כל מה שנותר לעשות הוא להבין שכל עוד אתה לא שולל את קיום הדוגמאות הספציפיות אז אתה לעולם לא תשלול את הטענה של @TunaGolem .

 

[ogi]

@daat99, השאלה המעניינת בעיניי היא האם סביר להניח שהאיזון יגדיל תשואה במקרה הממוצע או החציוני וכו' ולא סתם אם קיימים מקרים כלשהם בהם האיזון מגדיל תשואה -- מקרים כלשהם זה לא מספיק מעניין כי הם אולי מקוזזים ע"י מקרים אחרים, רבים יותר או כואבים יותר, בהם האיזון דווקא מזיק לתשואה.

 

[daat99]

@daat99, השאלה המעניינת בעיניי היא האם סביר להניח שהאיזון יגדיל תשואה במקרה הממוצע או החציוני וכו' ולא סתם אם קיימים מקרים כלשהם בהם האיזון מגדיל תשואה

זו באמת השאלה המעניינת אבל זו לא הטענה של @TunaGolem ש- @Ron B טען שהיא שגויה:

יש פה טעות לוגית.

אחרי שנסכים שהטענה של @TunaGolem נכונה ניתן לדון בשאלות אחרות יותר מעניינות.
כרגע הדיון בפועל ביניהם הוא על הטענה של @TunaGolem ולא על שאלה אחרת.

 

[TunaGolem]

לדעתי אתם מדברים על דברים שונים. @Ron B ממצע את הסכום שאליו מגיעים בסוף התקופה בכל התרחישים, ולאחר מכן מחשב CAGR לפי הסכום הזה, ואילו @TunaGolem מחשב CAGR עבור כל תרחיש, ואז ממצע.

אם אין רעש, הCAGR הוא דטרמיניסטי, והטענה של @Ron B הינה נכונה (ואולי טריוויאלית).

כאשר יש רעש, לCAGR יש התפלגות, והמדד לתשואה גבוהה יותר צריך להלקח מההתפלגות. מדדים שנידונו באשכול זה כוללים מומנטים שונים,
אחוזונים שונים, והערך המסתבר ביותר.
@Ron B טען שהתוחלת של ההתפלגות של הCAGR תמיד נמוכה יותר בתיק שמאזן בין נכסים עם תוחלות שונות, בלא תלות בצורת ההתפלגויות הספציפיות של כל נכס או במתאם ביניהן, ואני טוען שעבור התפלגויות מסויימות יתכן ההפך.
אני טענתי שמצאתי חור בהסקה הלוגית של @Ron B , ותמכתי את דברי בסימולציה. @Ron B טוען שהטיעונים שלו תקיפים ולכן בהכרח שגיתי בסימולציה.

 

[ogi]

כרגע הדיון בפועל ביניהם הוא על הטענה של @TunaGolem ולא על שאלה אחרת.

להבנתי הדיון ביניהם הוא (בעיקר) על השפעת האיזון על תוחלת התשואה. ראה למשל כאן (ההדגשה שלי):

אל תראו לי "דוגמאות". אנחנו מדברים על תהליכים אקראיים. דוגמאות לא מעניינות. מעניין מה התוחלת, תחת הנחות.

נכון שהיה משפט אחד בהתחלה שבו המלה "בתוחלת" הייתה חסרה (ההדגשה שלי):

יש פה טעות לוגית.
1. בוא נניח שתשואת מניות בתוחלת ולטווח הארוך גבוהה יותר מתשואת אג"ח (די ברור).
2. אם אתה לא מאזן, לטווח הארוך אחוז המניות שלך הולך ועולה. זה נובע לוגית מ-1.
מ-1 + 2 נובע, שתיק ללא איזון תמיד יתן תשואה גבוה יותר מתיק בו יש איזון.

אבל אני משער שהמלה "בתוחלת" פשוט נשמטה, כלומר הכוונה הייתה:

תיק ללא איזון תמיד יתן תשואה גבוה יותר מתיק בו יש איזון, בתוחלת.

בכל אופן, לאחר ההבהרה של רון ("דוגמאות לא מעניינות. מעניין מה התוחלת"), המשך הדיון ביניהם התמקד בתוחלת.

 

[ogi]

כאשר יש רעש, לCAGR יש התפלגות, והמדד לתשואה גבוהה יותר צריך להלקח מההתפלגות.

אני לא בטוח ש- @Ron B מסתכל על התפלגות ה-CAGR. נראה לי שהוא מסתכל על התפלגות שווי התיק בסוף התקופה, וספציפית, מחשב את השווי הממוצע של התיק בסוף התקופה. לאחר מכן, לצורך נוחות, הוא מחשב CAGR על סמך שווי זה (השווי הממוצע של התיק בסוף התקופה). -- אבל בהחלט יתכן שאני טועה.

רון, אשמח להבהרה.

 

[TunaGolem]

אני לא בטוח ש- @Ron B מסתכל על התפלגות ה-CAGR. נראה לי שהוא מסתכל על התפלגות שווי התיק בסוף התקופה, וספציפית, מחשב את השווי הממוצע של התיק בסוף התקופה.

CAGR הינה פונקציה מונוטונית של שווי התיק הסופי, כך שבסדר מוביל, אין הבדל בין הגישות.

 

[Ron B]

בואו נעשה קצת סדר וסיכום.
CAGR הוא משתנה מקרי והוא למעשה פונקציה מונוטונית של שווי התיק בסוף התקופה. לכן, אין הבדל בין להסתכל על CAGR או להסתכל על התיק בתום התקופה. זאת רק התמרה של אותו הערך. פשוט יותר נוח לעין האנושית להסתכל על CAGR, אבל אין לזה שום משמעות.
מה שכן חשוב להבין זה ש-CAGR, כמו גם ערך התיק בתום התקופה, הוא משנה מקרי. וככזה צריך לקבוע מה המידה אותה אנו רוצים להביא לאופטימום.
אפשר לקבוע שזה התוחלת, אפשר לקבוע שזה החציון ואפשר לקבוע משהו אחר.
לגבי מהו הערך שצריך להתסכל עליו: אני מציע לפתוח על זה דיון נפרד אם אתם רוצים. זה נושא עמוק וכבד, ולדעתי לא מתאים להכנס בדיון הזה לעומק הנושא הזה. במשפט אחד: אדם רציונלי רוצה להביא למקסימום את התוחלת של פונקציית התועלת שלו.

אני רק התייחסתי לנושא של "מה עדיף? תיק מאוזן או לא?"
כמו שהראתי, לעיל, אם בוחנים את התוחלת של התיק, מה שהרבה פעמים עושים: הראתי שעדיף לא לאזן. הנחתי את ההנחות הבאות: יש נכס עם תשואה גבוהה יותר (מניות), והנכסים הם מרטינגלים (חסרי זיכרון). לא הנחתי שום דבר נוסף על ההתפלגות שלהם, ולא הנחתי שום דבר על קורלציה בינהם. מי שלא מסכים איתי: אני ממליץ בחום רב לקרוא שוב את דברי למעלה בנושא לאט לאט והכי חשוב: בלי עצבים. זה אולי מפתיע. זה אולי מוזר. זה אולי מרגיז. אבל זה המצב. אל תתקפו אותי. אני רק השליח...

עכשיו אפשר לטעון: "בסדר. השתכנענו. אם רוצים להביא למקסימום את התוחלת אתה צודק, אבל זה בכלל לא מעניין. אנחנו בכלל מדברים על החציון". בסדר. אז בואו ננתח מה קורה בחציון.
פה, לצערי, אי אפשר להשתמש יותר בתכונה היפיפיה של לינאריות התוחלת, וצריך להניח משהו על התפלגות הנכסים. הבשורה הטובה, שגם פה לקורלציה אין שום משמעות. אז נניח הנחות שהם סבירות, לדעתי: השוק הוא תנועה בראונית גיאומטרית (דומה לסימולציה עם המשתנים הנורמלים ש @TunaGolem ערך) עם הפרמטרים הבאים: תשואת ההון הראלית היא 4%, וסטיית התקן השנתית היא 20%. מייד נראה, שהמסקנה שאגיע אליה: אם מניחים תשואה גבוהה יותר מ-4% (מה שנראה לי שהרבה מאמינים) התוצאה רק מתחזקת. נניח גם שאג"ח מדינה ל-10 שנים נותן ראלית 0% (האמת שבגרמניה זה שלילי, אבל בארה"ב זה 0).
החציון של התהליך נגזר מהתפלגות התהליך שמתפלגת לוג-נורמלי עם תוחלת mu פחות חצי סיגמה בריבוע (סיגמה זאת סטיית התקן היחסית). זאת לא תוצאה טרביאלית והיא נובעת מאיטו קלקולוס. לא אכנס לזה פה, ממליץ לקרוא על זה. אם אתם לא רוצים לקרוא: צריך להאמין לי...
עכשיו נניח משקיעים אלפא (מספר בין 0 ל-1) במניות והשאר באג"ח. אז קומבינציה לינארית של שני התהליכים היא גם מתפלגת לוג נורמלי (ללא קשר לקורלציה ביניהם!!!). עם התוחלת: mu כפול אלפא פחות חצי סיגמה בריבוע כפול אלפא בריבוע. כל שנותר הוא לגזור את הערך הזה לפי אלפא ולהשוות ל-0. יוצא שהאלפא האופטימלי הוא : התוחלת לחלק לסטיית התקן בריבוע. במספרים 0.04 לחלק ל-0.2 בריבוע זה 1.
מה זה אומר? זה אומר, שעל מנת להביא לאופטימום את החציון (לא התוחלת): צריך להשקיע 100% במניות, תחת ההנחות שציינתי. אם אתם מאמינים שתשואת שוק ההון יותר גבוהה, אלפא יצא עוד יותר מ-1 (זה אומר שצריך למנף): אבל בואו נניח שלא רוצים למנף (מסיבות אחרות, בהם כבר דנתי בעבר פה בפורום).
אז האם לאזן או לא בשביל להביא לאופטימום את החציון? כן צריך לאזן. צריך לאזן ל-100% במניות.
אבל אם מתחילים עם 50% מניות (או כל מספר אחר נמוך מ-100%): מכיוון שאם לא מאזנים לאותו מספר, אחוז המניות הולך ועולה לכיוון 100%, ולכן במקרה הזה: אם מתחילים מאחוז מניות נמוך יותר עדיף מבחינת החציון לא לאזן. זה יוביל לתוצאה טובה יותר מבחינת החציון.

הערה חשובה מאד: שלא יצא מדברי שאני ממליץ להשקיע 100% במניות. גם אני לא עושה את זה. אני רק מנתח מתמטית את הנושא תחת הנחות אותם ציינתי.

 

[ogi]

לא יודע אם זה חשוב או לא, אבל השתעשעתי קצת בגליון נתונים וכשהנחתי ששווי התיק גדל פי 4 או 5 כל שנה, אז קיבלתי שה-CAGR של השווי הממוצע של התיק בסוף התקופה יוצא שווה בדיוק לממוצע האריתמטי של 4 ו-5 (כלומר 4.5 או 350%), ולא משתנה בחלוף השנים, בעוד שה-CAGR הממוצע מתחיל מהערך הנ"ל אך נראה כאילו מתכנס בהדרגה, ככל שהשנים חולפות, לממוצע ההנדסי של 4 ו-5 (כלומר 4.47 או 347%).

האם טעיתי או חישבתי נכון?

 

[TunaGolem]

חישבתי נכון

 

[אנון נימוס]

מצורף אקסל שמתאר תוחלת רווח, ל 30 שנה
כשהתשואות השנתיות הם ניסויי ברנולי והקורלציה בין האפיקים היא אפס.
https://drive.google.com/file/d/0BzYHVAilSD8LWHltN3BtY0NHU2s/view?usp=sharing
התיק הלא מאוזן "מנצח" רק שאחרי 30 שנה מדובר בתיק של 76% מניות
וכמו ש @TunaGolem כתב התוחלת אינה חזות הכל צפיות פומקצית ההסתברות באזור התוחלת היא משמעותית לא פחות.
לדוגמא אם מסתכלים על התפלגות אקספוננציאלית צפיפות הממוצע היא 0.37 והיא באחוזון 60, החציון נמצא בצפיפות של 0.69 , וערך אפס נמצא בצפיפות 1
הנקודה הסבירה שסביבה יתרכזו מירב הנקודות היא החציון ולא הממוצע.
לא ברור איך מתנהגת פונקצית התשואה של התיק המאוזן לעומת לא מאוזן במציאות וברור אין דבר כזה חוסר קורלציה מוחלטת במציאות אבל לפחות לפי הדוגמאת שהביאו יש מצבים שבהם האיזון עדיף ולא רק בגלל שיפור יחס תשואה לתנודתיות (שלא כל המשקיעים מוטרדים ממנו)

​

 

[ע.מדי]

הרצתי תיק 50/50 ב MC בפורטפוליו ויז, והשוותי לתיק 100% מניות + תיק 100% TIPS (ומצעתי )
ועדיין החציון של ה 50.50 היה (בקצת) יותר טוב מהתיק הלא מאוזן

 

[סמבה]

מסקנה: לא ניתן להעריך/לכמת/לתחום תשואות לטווח ארוך על בסיס תשואות עבר, אפילו בעזרת כל האינפורמציה מהמאה העשרים.
הטענה "יש עדיפות לתיק X על פני תיק Y בטווח הארוך" איננה מבוססת.

מסכים
אני חושב שהדבר היחיד שסביר לעשות, הוא לבחור את ה (הייפר) פרמטרים (למשל יחס מניות אגח), שיבואו אותנו לאופטימום מבחינת תשואה/סיכון תחת תנאי שוק שונים (כמו בגרף הזה של @adamshalev ). מומלץ גם לבדוק מה קרה בארצות שונות תחת אותם פרמטרים (יפן / אירופה / מדינות מתפתחות). וגם אז כלום לא מובטח, כי השוק הוא לא תהליך אקראי סטציונרי, לכן לא מובטח שההתפלגות בעתיד תהיה דומה באיזשהי צורה להתפלגות בעבר.

 

[ogi]

אין לי עניין להגן על השקעה של חלק גדול מאוד מהתיק (50%) בנכס שלא כל כך אטרקטיבי בעיני: אג"ח ממשלתי בריבית אפסית.
מה שכן מעניין בעיני זו השאלה היותר כללית של השפעת האיזון-מחדש בין נכסים שונים בתיק על התשואה החציונית של התיק. להלן אני מציג את הקייס לטובת האיזון, ומראה שתחת הנחות מסויימות האיזון משפר את התשואה החציונית של התיק, ובנוסף, שהקורלציה חשובה לעניין זה.

למען הפשטות, ובשל היעדר יכולות מתמטיות מתקדמות, אני אניח שלכל אחד מהנכסים המוחזקים בתיק יש שתי אפשרויות תשואה בלבד: שנה טובה ושנה גרועה, שההסתברות להופעתן שווה. הצירוף של שתי אפשרויות עבור כל נכס נותן לנו ארבע אפשרויות לתשואה השנתית של תיק שמורכב משני נכסים במשקל קבוע, ועם זה אני מסוגל להתמודד. כפי שנראה, במקרה של קורלציה מושלמת בין הנכסים, שלילית או חיובית, שניים מהצירופים מתבטלים ואנו נשארים עם שני צירופים בלבד.

לנכס בעל התשואה החציונית הגבוהה יותר אני אקרא "הנכס המוביל", ולנכס השני אקרא "הנכס המשלים".

נתוני הנכס המוביל
בשנה טובה: 1.3 (כלומר עליה של 30%)
בשנה גרועה: 0.85 (כלומר ירידה של 15%)
תשואה חציונית: כ-1.05 (כלומר תשואה שנתית של כ-5% בתרחיש החציוני בטווח הארוך)

הערה: חישבתי ממוצע הנדסי של התשואה בשנה טובה וגרועה, ואני משתמש בזה כפרוקסי לתשואה החציונית בטווח הארוך. מקווה שתסכימו איתי שזה טוב מספיק, לפחות עבור השנים הזוגיות.

נתוני הנכס המשלים
בשנה טובה: 1.06
בשנה גרועה: 0.97
תשואה חציונית: כ-1.014 (כלומר תשואה שנתית של 1.4% בתרחיש החציוני בטווח הארוך).

תיק בלי איזון
תיק 75:25 לטובת הנכס המוביל, בלי איזון. נניח שתקופת ההחזקה היא 32 שנים.
תשואה חציונית לאחר 32 שנים: כ-1.045 (כלומר תשואה שנתית של כ-4.5% בתרחיש החציוני בתקופה הנ"ל)

אופן החישוב: 0.75 כפול (התשואה החציונית של הנכס המוביל בחזקת 32), ולזה מוסיפים 0.25 כפול (התשואה החציונית של הנכס המשלים בחזקת 32), ומזה מוציאים שורש 32.

איזון כשאין קורלציה
תיק 75:25 לטובת הנכס המוביל, עם איזון שנתי, בהנחה שאין שום קורלציה.
לכל נכס יש שתי אפשרויות תשואה, וזה נותן 4 צירופים:
שנה טובה-טובה: 1.24 (0.75 כפול 1.3, פלוס 0.25 כפול 1.06)
שנה טובה-גרועה: 1.22 (0.75 כפול 1.3, פלוס 0.25 כפול 0.97)
שנה גרועה-טובה: 0.9 (0.75 כפול 0.85, פלוס 0.25 כפול 1.06)
שנה גרועה-גרועה: 0.88 (0.75 כפול 0.85, פלוס 0.25 כפול 0.97)
תשואה חציונית: כ-1.046 (כלומר תשואה שנתית של כ-4.6% בתרחיש החציוני בטווח הארוך, שזה יותר טוב מ-4.5% של התיק בלי איזון).

האיזון משתלם!

הערה: חישבתי ממוצע הנדסי של התשואה ב-4 סוגי השנים, ואני משתמש בזה כפרוקסי לתשואה החציונית בטווח הארוך. מקווה שתסכימו איתי שזה טוב מספיק, לפחות עבור השנים שמתחלקות ב-4.

איזון כשהקורלציה שלילית
למען הפשטות אנחנו נניח שהקורלציה השלילית מושלמת, ולכן שני צירופים מתבטלים ונשארים רק שניים:
שנה טובה-טובה: 1.24
שנה טובה-גרועה: 1.22
שנה גרועה-טובה: 0.9
שנה גרועה-גרועה: 0.88
תשואה חציונית: כ-1.048 (כלומר תשואה שנתית של כ-4.8% בתרחיש החציוני בטווח הארוך, שזה יותר טוב מ-4.5% ו-4.6% שראינו קודם).

קורלציה שלילית זה דבש!

איזון כשהקורלציה חיובית
כמו המקרה הקודם, רק ששתי אפשרויות אחרות נמחקות, בהנחה שמדובר בקורלציה חיובית מושלמת.
שנה טובה-טובה: 1.24
שנה טובה-גרועה: 1.22
שנה גרועה-טובה: 0.9
שנה גרועה-גרועה: 0.88
תשואה חציונית: כ-1.044 (כלומר עליה שנתית של כ-4.4% בתרחיש החציוני בטווח הארוך, שזה פחות מ-4.5%, 4.6% ו-4.8% שראינו קודם).

קורלציה חיובית זה באסה!

איזון כשהקורלציה חלקית
בתגובה לטענה אפשרית שהחיים אפורים ויש בהם קורלציה חלקית, ניתן לחשב ממוצע הנדסי ולכלול את הצירופים הרלוונטיים פעמיים, כדי להגדיל את משקלם*. במקרה של קורלציה חלקית חיובית, השנים שיש להגדיל את משקלן הן טובה-טובה וגרועה-גרועה, והתוצאה היא:
תשואה חציונית: כ-1.0458 (כלומר עליה שנתית של כ-4.58% בתרחיש החציוני בטווח הארוך, שזה יותר טוב מ-4.5% של התיק בלי איזון)

האיזון בכל זאת משתלם, למרות הקורלציה החיובית החלקית.

* הערה: ניתן גם לחשב ממוצע הנדסי משוקלל. דרך אחת לעשות זאת בגליון נתונים היא להעלות כל ערך בחזקת המשקל שרוצים לתת לו, ולאחר מכן להכפיל את התוצאות שקיבלנו זו בזו. (המשקלים צריכים להסתכם ב-1). אשמח לשמוע על דרך טובה יותר.

סיכום
בהודעה זו ניסיתי להראות ולהמחיש שתחת הנחות מסויימות (שלדעתי הן מתקיימות במציאות, לפחות בחלק מהנכסים והתקופות), איזון מחדש של התיק משפיע לטובה על התשואה החציונית, וניסיתי גם להראות ולהמחיש שהקורלציה חשובה לעניין זה. זה לא אומר שהאיזון מועיל תחת כל סט של הנחות, אבל זה בהחלט אומר שהטענה ההפוכה שגויה.